Question

在平面直角坐标系 xoy 中，离心率为的椭圆C：(a>b>0)的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）如图，当P、O、Q共线时，直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点，求证：为定值；

（Ⅲ）设直线AP,AQ的斜率分别为k₁,k₂，当k₁k₂= -1时，证明直线PQ经过定点R．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依据题设条件建立方程组即可；（Ⅱ）设点的坐标,运用向量的坐标形式的数量积公式,并借助点在椭圆上即可；（Ⅲ）先探求的坐标,再从这一特殊情形入手求出定点坐标,最后再验证一般情况,很容易求出定点的坐标.

试题解析：(Ⅰ)

（Ⅱ）设则，又，所以直线的方程为，得，所以

同理可得，所以，

又点在椭圆上，所有，故，

所以=1（定值）；

（Ⅲ）设，将直线的方程与椭圆方程联立方程组得：

，

当时，点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为，

由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为

当时，，

直线PQ的方程为，

令得：=0

所以直线PQ过定点R

考点：①椭圆的方程及有关概念；②直线与椭圆的交点及求解方法.