Question

已知圆C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0．

（1）若圆C的切线不过原点且在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．

（2）从圆C外一点P(x₁，y₁)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）因为切线的截距相等，故可假设直线方程为，再利用圆心到切线的距离等于半径求参数即可求得切线方程；（2）圆的切线长为，线段,由列方程可求得点的轨迹方程为一条直线，再求当原点到直线的距离最小时所对应的点的坐标即可．

试题解析：（1）将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．设切线方程为x＋y－a＝0，

∴圆心到切线的距离为＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．

所求切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

（2）∵|PO|＝|PM|，

∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，

即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．

当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，

∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，

解得方程组得

∴P点坐标为

考点：圆的切线，点到直线的距离.

【思路点睛】因为题中已经说明圆的切线在两坐标轴上的截距相等，即直线的斜率为，便可假设直线的方程为，再根据切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，即利用点到直线的距离来求参数；而对于动点，首先要求得,再由它们相等求得动点的轨迹，而当最小时，也即最小，通过求得最小值来确定的坐标．