Question

定义在上的函数及二次函数满足: ,，且的最小值是.

（Ⅰ）求和的解析式;

（Ⅱ）若对于，均有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设讨论方程的解的个数情况.

Answer

（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（Ⅲ）有三个解．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在中，将换作，将二式联立便可求得的解析式，对于二次函数可假设，将最低点代入函数求便可得到二次函数解析式；（Ⅱ）恒成立，即利用函数的单调性分别求得最大值与最小值，代入不等式求的取值范围；（Ⅲ）根据函数和的图象可知当时，，解方程即可求得解的情况．

试题解析：(Ⅰ) ∵①，则②

由①②联立解得: ;

是二次函数,可设

又，∴抛物线对称轴为.∴.

根据题意函数有最小值为，∴.

又，故

(Ⅱ)设,,

依题意知:当时,

∵,在上单调递增,

，解得，

实数的取值范围是；

(Ⅲ) 图像解法：的图象如图所示: 令,则

而有两个解, 有个解.

有个解.

代数解法：令,则

（1）由得：或，

解得。

（2）若，则或，

∴；

若，则或

由解得，而无解

综上所述，方程共有三个解。

考点：函数的解析式，函数的最值，零点.

【方法点睛】求解两个函数的不等式恒成立问题时，当两个函数的自变量相同时，可通过两函数求差构造一个新的函数然后求此函数在定义域上的最大值或者最小值，来证明不等式恒成立，当两函数的自变量不同时，则分别求得两函数的最值，然后将函数的不等式转化为最值的不等式，通过解不等式证明原不等式恒成立；对于有关复合函数的方程的根，可由函数值求得内函数的值，进而由内函数的值求方程的零点．