Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的．

（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：；．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

Answer

（Ⅰ）①当时，是增函数，②当时，恒成立，③当时，恒成立；（Ⅱ）模型符合公司要求．

【解析】

试题分析：（I）因为奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，所以在定义域上为增函数，奖金不超过万，即，奖金不超过投资收益的，即，据此可得到函数应满足的条件；（II）对所给两函数模型分析，看其是否满足（I）中的三个条件，可发现函数符合公司的要求．

试题解析：（Ⅰ）设奖励函数模型为，则该函数模型满足的条件是：

①当时，是增函数；

②当时，恒成立；

③当时，恒成立．

（Ⅱ）（1）对于函数模型，它在上是增函数，满足条件①；

但当时，，因此，当时，，不满足条件②；

故该函数模型不符合公司要求．

（2）对于函数模型，它在上是增函数．满足条件①

时，即恒成立．满足条件②

设，则，又

，所以在上是递减的，因此

，即恒成立．满足条件③，故该函数模型符合公司要求。

综上所述，函数模型符合公司要求．

考点：建立函数模型.

【方法点睛】本题主要考察建立数学模型，即构造函数，首先弄清楚题意，确定自变量与因变量，根据题意确定自变量与因变量的关系，并确定自变量与因变量所满足的条件，一般情况下，所构造函数函数均为分段函数，对于分段函数一定要注意其对应定义域，对于函数模型的选择，主要是看题中所提供的函数模型是否能够满足要求，即从定义域，函数值域以及单调性等方面来进行选择．