Question

已知函数f(x)=lnx-ax²一a+2．（a∈R，a为常数）

(I)讨论函数f(x)的单凋性；

(II)若存在x₀∈(0，1]，使得对任意的a∈(-2，0]，不等式me^a+f(x₀）>0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

Answer

(Ⅰ)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；(Ⅱ)．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导，讨论参数的取值确定导函数的正负，进而判定函数的单调性；(Ⅱ)先借助（Ⅰ）的结论求出不等式左边的最小值，即将存在性问题转化为左边的最小值大于不等式右边，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．

试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为，，

当时，，所以函数在区间上单调递增；

当时，由且解得，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（II）由（1）知道当时，函数在区间上单调递增，

所以时，函数的最大值是，

对任意的，都存在，不等式都成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

不等式可化为，

记，则，

所以的最大值是，

所以实数的取值范围是

考点：1.函数的单调性；2.导数的综合应用．