Question

已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得，再根据可求得a；（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为，由已知可求得AB方程，易验证其过定点

试题解析：（1）由△是等腰直角三角形，得c2＝2＝4, a2＝8

故椭圆方程为

（2）①若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，

由 得 ．

则

由已知，可得，所以

即。

所以，整理得

故直线AB的方程为

所以直线AB过定点

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为，设

由已知，得，此时AB方程为，显然过点。

综上所述，直线AB过定点

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程