Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点 

（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离 

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，连PF，设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，则N点到AB的距离即为AP，N点到AP的距离即为AF

试题解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、、，

从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为

（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则

由面可得，

∴ 即点的坐标为，

从而点到和的距离分别为

考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定