Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）直线，与圆相切且与抛物线交于不同的两点，，当为直角时，求△的面积．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 设抛物线方程为，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程；（Ⅱ） 由直线与圆相切可得，把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及∠MON为直角则，求得t=4，运用弦长公式求得|MN|，求得点O到直线的距离，从而求得△OMN的面积

试题解析：（1） 设抛物线方程为，由已知得：，

所以抛物线的标准方程为；

（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，

把直线方程代入抛物线方程并整理得：，

由得或，

设，则

∵为直角∴，解得或（舍去），

∵，

点到直线的距离为，

∴．

考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线相交的位置关系