Question

已知函数，

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；

（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）求出导数，由导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由题意可得在上有两个实根，令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，可得a的范围；（3）由题意可得当时，f（x）的图象恒在直线y=k（x-1）的上方，求出f（x）的单调区间，画出它们的图象，由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得k的范围

试题解析：(I)，．由得 解得．

故的单调递减区间是．

(2)设，则问题转化为在上有两个不同的零点；

因为．故当时，，当时，，所以 在递增.，在上单调递减.；则由题意得：，即

故

(3)当时，令，．则有．当时，，当时，，所以在递增，在上单调递减.，

对任意的恒有，故不存在满足题意．

当时,对于,有,，从而不存在满足题意

当时，令，，则有．

由得，．

解得，

．

当时，，故在内单调递增．从而当时，，即.

综上，的取值范围是.

考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用