Question

椭圆经过点，且离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点,直线的斜率为，直线的斜率为,求证：；

(3) 设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

(1) （2）详见解析 (3)

【解析】

试题分析：（1）由椭圆E：经过点，且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）设A，B，则，由此利用点差法能证明；（3）当直线l与y轴平行时，Q点的坐标为；当直线l与y轴垂直时，Q点坐标只可能为，再证明对任意直线l，均有即可

试题解析：（1），解得.所以椭圆E的方程为．

（2）设，则．

由题意

．

若，则，结论成立．（此处不交代扣1分）

．

备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分.

（3）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在定点满足条件，则有，即，所以在轴上，可设点的坐标为.

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点，则的坐标分别为．由，有，解得．所以，若存在不同于点不同的定点满足条件，则点坐标只可能为.

下面证明：对任意直线，均有．记直线的斜率为，直线的斜率为，设，则．由题意．

若，则．

．

易知，点于轴对称的点的坐标为.三点共线．

．所以对任意直线，均有

考点：1.椭圆方程与性质；2.椭圆与直线位置关系的合理运用