Question

如图，椭圆经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论

试题解析：（Ⅰ）由题意知，又，

解得，所以，椭圆的方程为

（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，

得

由已知，设，

则

从而直线与的斜率之和

. 得证

考点：1.椭圆方程；2. 直线与圆锥曲线的综合问题