Question

如图，⊙O的半径为r，MN切⊙O于点A，弦BC交OA于点Q，BP⊥BC，交MN于点P

（Ⅰ）求证：PQ∥AC；

（Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求PQ．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结AB，推导出OA⊥MN，BP⊥BC，从而B、P、A、Q四点共圆，由此能证明PQ∥AC．

（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．推导出Rt△PAQ∽Rt△ECA，由此能求出PQ．

证明：（Ⅰ）如图，连结AB．

∵MN切⊙O于点A，∴OA⊥MN．

又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四点共圆，

所以∠QPA=∠ABC．

又∵∠CAN=∠ABC，∴∠CAN=∠QPA．

∴PQ∥AC．

【解析】
（Ⅱ）过点A作直径AE，连结CE，则△ECA为直角三角形．

∵∠CAN=∠E，∠CAN=∠QPA，∴∠E=∠QPA．

∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴=，

故=

考点：与圆有关的比例线段．