Question

已知函数，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，恒成立，求实数a的范围．

Answer

（Ⅰ）（，a﹣1+）．（Ⅱ）（﹣∞，2]．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求了函数f（x）的定义域和导数，构造函数g（x）=x2+2（1﹣a）x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）的单调区间．

（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，等价于“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，构造函数h（x）=f（x）﹣a，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．

设g（x）=x2+2（1﹣a）x+1，△=4a（a﹣2）

①当a≤0时，函数y=g（x）的对称轴为x=a﹣1，

所以当x＞0时，有g（x）＞g（0）＞0，

故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当0＜a≤2时，由△=4a（a﹣2）≤0，得g（x）=x2+2（1﹣a）x+1≥0，

所以f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，

③当a＞2时，令g（x）=0得，

令f′（x）＞0，解得0＜x＜x1或；令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2

所以f（x）的单调递增区间（0，）和（，+∞）；

f（x）的单调递减区间（，a﹣1+）．

（Ⅱ）“当x＞0，且x≠1时，恒成立”，

等价于“当x＞0，且x≠1时，（※）恒成立”，

设h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：

①当a≤2时，h（x）在（0，+∞）上是增函数，

当x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，所以；

当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，所以；

所以，当a≤2时，※式成立．

②当a＞2时，h（x）在（x1，1）是减函数，

所以h（x）＞h（1）=0，※式不恒成立．

综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．