Question

如图1，正方形ABCD的边长为，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得PH⊥AH，连结PA，PB，PD（如图2）．

（Ⅰ）求证：BD⊥AP；

（Ⅱ）求三棱锥A﹣BDP的高．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）由PH⊥AH，PH⊥EF可得PH⊥平面ABCD，故PH⊥BD，又AC⊥BD，得出BD⊥平面PAH，得出BD；

（2）分别把△ABD和△BDP当做底面求出棱锥的体积，列出方程解出．

（Ⅰ）证明：∵E、F分别是CD和BC的中点，∴EF∥BD．

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，故折起后有PH⊥EF．

又∵PH⊥AH，∴PH⊥平面ABFED.

又∵BD⊂平面ABFED，∴PH⊥BD，

∵AH∩PH=H，AH，PH⊂平面APH，

∴BD⊥平面APH，又∵AP⊂平面APH，∴BD⊥AP

（Ⅱ）【解析】
∵正方形ABCD的边长为，

∴AC=BD=4，AN=2，NH=PH=1，PE=PF

∴△PBD是等腰三角形，连结PN，则PN⊥BD，

∴△PBD的面积

设三棱锥A﹣BDP的高为h，则三棱锥A﹣BDP的体积为

由（Ⅰ）可知PH是三棱锥P﹣ABD的高，∴三棱锥P﹣ABD的体积：

∵VA﹣BDP=VP﹣ABD，即，解得，即三棱锥A﹣BDP的高为．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．