Question

已知函数，（a为常数且a＞0）．

（1）若函数的定义域为，值域为，求a的值；

（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度为n﹣m，其中n＞m，若不等式f（x）+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．

Answer

（1）1；（2）

【解析】

试题分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=a[+sin（2x+）]，由已知函数的值域可得a值．

（2）由题意可得要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得．

【解析】
（1）由三角函数公式化简可得：

f（x）=a（sinxcosx++cos2x）

=a（sin2x++cos2x）

=a[+sin（2x+）]，

∵x∈，∴2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[﹣，1]，

∴+sin（2x+）∈[0，1+]，

∵由已知可得函数值域为，

∴a=1；

（2）由题意可得，即

要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．