Question

已知a，b是实数，函数f（x）=x|x﹣a|+b．

（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；

（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．

Answer

（1）f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．（2）见解析；（3）0＜b＜

【解析】

试题分析：（1）当a=2时，作出函数f（x）的表达式，利用数形结合即可求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＞0时，先求出f（1）=f（2），然后利用数形结合即可函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；

（3）利用参数分离法将条件进行转化，利用数形结合即可求b的取值范围．

【解析】
（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|+b=，

由二次函数的单调性知，

f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．

（2）设g（x）=x|x﹣a|=，

由于a＞0且1≤x≤2，结合函数f（x）的图象可知，

若f（1）=f（2），

即g（1）=g（2），

则|1﹣a|=2|2﹣a|，

平方得1﹣2a+a2=16﹣16a+4a2，

即3a2﹣14a+15=0，

得a=3或a=，

当0＜a≤时，g（2）≥g（1），此时g（2）最大，即f（2）最大，最大值为f（2）=2|2﹣a|+b=4﹣2a+b，

若＜x＜3时，g（2）＜g（1），此时g（1）最大，即f（1）最大，最大值为f（ ）=|1﹣a|+b=1﹣a+b，

若a≥3时，g（2）＞g（1），此时g（2）最大，即f（2）最大，最大值为f（2）=2|2﹣a|+b=2a﹣4+b，

（3）若存在a∈[﹣3，0]，使得函数f（x）在[﹣4，5]上恒有三个零点，

则存在a∈[﹣3，0]，使得b=﹣x|x﹣a|有三个不同的实根；

令g（x）=﹣x|x﹣a|=，

（ⅰ）当a=0时，g（x）在[﹣4，5]上单调递减，故b无解；

（ⅱ）当﹣3≤a＜0时，g（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在[a，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

∵g（﹣4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，g（）=，g（5）=5a﹣25，

∴g（﹣4）﹣g（）=＞0，g（a）﹣g（5）=25﹣5a＞0，

∴0＜b＜，

∴0＜b＜．

考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．