Question

已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x³，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是     ．

Answer

[，+∞）

【解析】

试题分析：根据条件确定函数是奇函数，求出函数f（x）的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．

【解析】
由f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），得f（x0）=﹣f（﹣x﹣1+1）=﹣f（x），

即函数f（x）是奇函数，

若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），

即f（x）=x3，（x＞0），

综上f（x）=x3，

则不等式f（x+t）≥2f（x）等价为不等式f（x+t）≥f（x），

∵f（x）=x3，为增函数，

∴不等式等价为x+t≥x在x∈[t，t+2]恒成立，

即：t≥（﹣1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，

即t≥（﹣1）（t+2），

即（2﹣）t≥2（﹣1），

则t≥=，

故实数t的取值范围[，+∞），

故答案为：[，+∞）

考点：函数恒成立问题；抽象函数及其应用．