Question

已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有定义，在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又知函数g（θ）=sin²θ+mcosθ﹣2m，，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

Answer

【解析】

试题分析：利用奇函数在对称区间的单调性相同得到f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，f（﹣1）=0，将集合N中的0用f（﹣1）代替，利用f（x）的单调性将f脱去，利用三角函数的平方关系将正弦用余弦表示，通过换元转化为二次不等式恒成立，通过转化为求二次函数的最值，通过对对称轴的讨论求出最值．

【解析】
∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，

又由f（1）=0得f（﹣1）=﹣f（1）=0

∴满足的条件是

即，即sin2θ+mcosθ﹣2m＜﹣1，

也即﹣cos2θ+mcosθ﹣2m+2＜0．

令t=cosθ，则t∈[0，1]，又设δ（t）=﹣t2+mt﹣2m+2，0≤t≤1

要使δ（t）＜0，必须使δ（t）在[0，1]内的最大值小于零

1°当＜0即m＜0时，δ（t）max=δ（0）=﹣2m+2，解不等式组知m∈∅

2°当0≤≤1即0≤m≤2时，δ（t）max=，

由＜0，解得，故有

当＞1即m＞2时，δ（t）max=﹣m+1，解不等式组得m＞2

综上：

考点：奇函数；交集及其运算；函数单调性的性质．