Question

函数f（x）=6cos²+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（1）求ω的值及函数f（x）的值域；

（2）若f（x₀）=，且x₀∈（﹣，），求f（x₀+1）的值．

Answer

（1）ω=，[﹣2，2]；（2）

【解析】

试题分析：（1）变形可得f（x）=2sin（ωx+），由又由三角形的知识和周期公式可得ω=，由振幅的意义可得值域；

（2）由已知和（1）的解析式可得sin（x0+）=，进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（x0+）=，代入f（x0+1）=2sin（x0++）=2×[sin（x0+）+cos（x0+）]计算可得．

【解析】
（1）由已知得f（x）=6cos2+sinωx﹣3

=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+）

又△ABC为正三角形，且高为2，可得BC=4．

∴函数f（x）的最小正周期为8，即=8，

解得ω=，∴f（x）=2sin（x+），

∴函数f（x）的值域为：[﹣2，2]；

（2）∵f（x0）=，

∴2sin（x0+）=，

故sin（x0+）=，

∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，），

∴cos（x0+）==

∴f（x0+1）=2sin（x0++）

=2×[sin（x0+）+cos（x0+）]=

考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．