Question

设函数，其中a为常数

（1）当f（2）=f（1）+2时，求a的值；

（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围；

（3）若a∈R，试求函数y=f（x）的定义域．

Answer

（1）（2）a≥﹣2；（3）①当a＞﹣2时 f（x）定义域为R②当a≤﹣2时f（x）定义域为

【解析】

试题分析：（1）直接代入，解方程即可；（2）不等式可整理为，只需求出右式的最大值即可．利用换元法令t=2x，t∈[2，+∞）得出，根据定义法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值；（3）利用换元法m=2x（m＞0）即m2+am+1＞0，对二次不等式m2+am+1＞0分类讨论，求出函数的定义域即可．

【解析】
（1）．f（2）=f（1）+2⇒log2（1+4a+16）=log2（1+2a+4）+log24⇒log2（17+4a）=log24（5+2a）⇒17+4a=20+8a⇒

（2）1+a2x+4x≥2x﹣1⇒

令t=2x∵x∈[1，+∞）∴t∈[2，+∞）

设，2≤t1＜t2

=

∵（t2﹣t1）＞0，t1t2﹣1＞0，t1t2＞0

∴h（t1）＞h（t2）

∴h（t）在[2，+∞）上为减函数，

∴t=2时，有最大值为﹣2

∴a≥﹣2

（3）1+a2x+4x＞0⇒

令m=2x（m＞0）即m2+am+1＞0

①当△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2m∈R⇒x∈R

②当△=a2﹣4=0⇒a=2或a=﹣2

若a=2，（m+1）2＞0又m＞0⇒x∈R

若a=﹣2，（m﹣1）2＞0又m≠1⇒x∈{x|x≠0，x∈R}

③当△=a2﹣4＞0⇒a＞2或a＜﹣2

设g（m）=m2+am+1而g（0）=1＞0

若a＞2，而m＞0⇒x∈R

若a＜﹣2，而m＞0⇒

⇒

⇒

综上：①当a＞﹣2时 f（x）定义域为R；②当a≤﹣2时f（x）定义域为

考点：函数恒成立问题．