Question

已知如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁=AC，且AB⊥AC，M是面CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上．

（Ⅰ）若P为A₁B₁中点，求证：NP∥平面ACC₁A₁；

（Ⅱ）证明：PN⊥AM．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出NP∥平面ACC1A1．

（2）求出=（0，2，1），=（0，1，﹣2），利用向量法能证明PN⊥AM．

证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AA1=AC=2，AB=2a，

则B（2a，0，0），C（0，2，0），N（a，1，0），P（a，0，2），

=（0，﹣1，2），平面ACC1A1的法向量=（1，0，0），

=0，

∵NP⊄平面ACC1A1，∴NP∥平面ACC1A1．

（2）M（0，2，1），=（0，2，1），

又=（0，1，﹣2），

∴=0+2﹣2=0，

∴⊥，

∴PN⊥AM．

考点：直线与平面平行的判定．