Question

如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．

（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；

（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）证明见解析（3）上存在一点G，满足=，使得FG∥平面ACD

【解析】

试题分析：（1）根据圆的性质求出△ABD的面积，利用面面垂直的性质得出OC⊥平面ABD，代入棱锥的体积公式计算；

（2）利用三线合一和面面垂直的性质证明DE⊥平面ABC；

（3）取的中点G，BD的中点M，连结FM，FG，MG，则可证平面FMG∥平面ACD，故而FG∥平面ACD．

【解析】
（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，

∵AB=2，∠DAB=，∴AD=，BD=，

∴S△ABD=ADBD=．

∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．

在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，

∴OC⊥平面ABD，

∴VD﹣ABC=VC﹣ABD===．

（2）∵OA=OD，∠DAB=，∴△OAD是等边三角形，

∵E是OA中点，∴DE⊥OA，

∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DE⊥AB，

∴DE⊥平面ABC，∵BP⊂平面ABC，

∴DE⊥BP．

（3）上存在一点G，满足=，使得FG∥平面ACD，

理由如下：取BD中点M，连结FM，MG，FG，

则MG⊥BD，∴MG∥AD，

∵F，M分别是BC，BD的中点，

∴FM∥CD，

∵FM⊂平面FMG，MG⊂平面FMG，CD⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AD∩CD=D，FM∩MG=M，

∴平面FMG∥平面ACD，

∵FG⊂平面FMG，

∴FG∥平面ACD．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．