Question

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．

Answer

（Ⅰ）（x﹣4）2+y2=12（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，由条件求得M、N两点的坐标，即可求得以MN为直径的圆的方程．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），求得 M（4， ）、N（4，），以及MN的值，求得MN的中点，

坐标为（4，），由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2，化简可得结果．

【解析】
（Ⅰ）以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如直角坐标系，

由于⊙O的方程为x2+y2=4，直线L的方程为x=4，∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，），

∴lAP：y= （x+2），lBP：y=﹣（x﹣2）．

将x=4代入，得M（4，2），N（4，﹣2）．

∴MN的中点坐标为（4，0），MN=4．∴以MN为直径的圆的方程为（x﹣4）2+y2=12．

同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是 （x﹣4）2+y2=12．

（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），则 +=4 （y0≠0），∴=4﹣．

∵直线AP：y=（x+2），直线BP：y=（x﹣2），将x=4代入，得 yM=，yN=．

∴M（4， ）、N（4，），MN=|﹣|=，

故MN的中点坐标为（4，﹣ ）．

以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2=

===4 为定值．

再根据以MN为直径的圆O′的半径为2，AB的中点O到直线MN的距离等于4，故O′为线段MN的中点，

可得⊙O′必过⊙O 内定点（4﹣2，0）．

考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．