Question

已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.

（1）求常数的值；

（2）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）涉及到切线，先求得导函数，由已知，，再结合可求得；（2）题意说明函数在区间上有极值，由

，要分类讨论：在区间上有一个零点，有两个零点，设，则方程在上只有一个根，或有两个根，由二次方程根的分布规律可得解．

试题解析：（1）由题设知，的定义域为,,

因为在处的切线方程为，

所以,且，即,且,

又 ，解得，，

（2）由（1）知

因此，

所以

令

（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有.

（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根

所以，解得

综上，实数的取值范围是

考点：导数的几何意义，导数与函数的极值，一元二次方程根的分布．