Question

已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)．

(1)当a=1时，求f(x)的最小值；

(2)当f(x)有最小值时，求a的取值范围；

(3)若函数h(x)＝f(sinx)－2存在零点，求a的取值范围．

Answer

(1)2;(2);(3)

【解析】

试题分析：(1)根据绝对值的意义，去绝对值，得到分段函数，根据函数的单调性求函数的最小值；

（2）根据绝对值的意义，去掉绝对值后，得到分段函数，若函数由最小值，会得到分段函数的单调性，求出的取值范围；

（3）首先根据，结合上一问的分段函数得到，函数存在零点等价于有解，那么根据三角函数的有界性，得到的取值范围.

试题解析：【解析】
(1)当a=1时

所以，在递减，在递增，

故最小值为

（2）

要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，

故a的取值范围为[－2，2]．

(3)∵sinx∈[－1，1]，∴f(sinx)＝(a－2)sinx＋4，

“h(x)＝f(sinx)－2＝(a－2)sinx＋2存在零点”等价于“方程(a－2)sinx＋2＝0有解”，

亦即有解，∴，

解得或

∴a的取值范围为

考点：1.含绝对值的函数；2.函数的零点.