Question

已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．

（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；

（2）解不等式：f（x+）＜f（）；

（3）若当a∈[﹣1，1]时，f（x）≤m²﹣2am+3对所有的x∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）{x|﹣≤x＜﹣1}；（3）m的取值范围是m=0或m≤﹣2或m≥2

【解析】

试题分析（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，由奇函数的定义将f（x1）﹣f（x2）进行转化，利用所给的条件判断出f（x1）＜f（x2）即可；

（2）根据（1）的结论和增函数的定义，以及函数的定义域，列出不等式组求出x的范围；

（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为m2﹣2am+3≥3，即m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，再构造函数g（a）=﹣2m•a+m2，即g（a）≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围，需对m进行分类讨论求出此函数的最小值．

【解析】
（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，

∵f（x）为奇函数，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=•（x1﹣x2），

由已知得，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增．

（2）∵f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴，解得≤x＜﹣1，

∴不等式的解集为{x|﹣≤x＜﹣1}．

（3）∵f（1）=3，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，

∴在[﹣1，1]上，f（x）≤3，即m2﹣2am+3≥3，

∴m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．

设g（a）=﹣2ma+m2≥0，

①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[﹣1，1]恒成立．

②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，

则必须g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．

∴m的取值范围是m=0或m≤﹣2或m≥2．

考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题．