Question

已知函数f（x）=e^x+e^﹣x，其中e是自然对数的底数．

（1）证明：f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）m≤﹣

【解析】

试题分析（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；

（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．

（1）证明：∵f（x）=ex+e﹣x，

∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；

（2）【解析】
若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，

即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，

∵x＞0，

∴ex+e﹣x﹣1＞0，

即m≤在（0，+∞）上恒成立，

设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，

∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，

∴m≤﹣．

考点：函数恒成立问题．