Question

已知

（1）求的值；

（2）当x∈（﹣t，t]（其中t∈（﹣1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；

（3）当f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0时，求满足不等式f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0的x的范围．

Answer

（1）0；（2）当a＞1时，f（x）存在最小值为f（t）=，理由见解析；（3）（1，）

【解析】

试题分析（1）由所求表达式的特点知，可判断函数的奇偶性；

（2）根据复合函数单调性的判定方法判断f（x）的单调性，由单调性可讨论f（x）的最小值情况；

（3）利用f（x）的奇偶性把f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0可化为f（x﹣2）≥f（3x﹣4），再利用f（x）的单调性即可解出不等式．

【解析】
（1）令，解得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称．

又f（﹣x）===﹣=﹣f（x），

所以f（x）为奇函数，

所以=﹣=0．

（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，

则﹣=．

因为﹣1＜x1＜x2＜1，

所以﹣＞0，即＞．

所以在（﹣1，1）上为减函数，也在（﹣t，t]上为减函数，

①当a＞1时，y=logat单调递增，t=单调递减，所以y=在（﹣t，t]上单调递减，

此时f（x）存在最小值为f（t）=．

②当0＜a＜1时，y=logat单调递减，t=单调递减，所以y=在（﹣t，t]上单调递增，

此时f（x）不存在最小值．

综①②知，当a＞1时，f（x）存在最小值为f（t）=．

（3）f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0可化为f（x﹣2）≥﹣f（4﹣3x），

由（1）知f（x）为奇函数，所以f（x﹣2）≥f（3x﹣4），

①当a＞1时，由（2）知f（x）在（﹣1，1）上为减函数，

所以，解得1＜x＜．

②当0＜a＜1时，由（2）知f（x）在（﹣1，1）上为增函数，

所以，解得为∅．

综①②得满足不等式f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0的x的范围为：（1，）．

考点：函数单调性的性质；函数的值；其他不等式的解法．