Question

函数f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x₀，y₀）．

（Ⅰ）请指出图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数？

（Ⅱ）求证x₀∈（，1）；

（Ⅲ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1），C2对应f（x）=x2（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）a＜1﹣log32

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由图象特征可知，C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），利用函数的零点判定定理证明；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．

【解析】
（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；

（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），

∵F（）=﹣log3（+1）=log32﹣＜0，

F（1）=1﹣log32＞0，

故存在x0∈（，1），使F（x0）=0，

即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，

且由图象可知，

a＜1﹣log32．

考点：对数函数的图象与性质．