Question

已知函数f（x）=mx+，且f（4）=3．

（1）求m的值；

（2）判断f（x）的奇偶性；

（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并应用单调性的定义给予证明．

Answer

（1）1（2）奇函数（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）把x=4代入f（x）解出即可得出．

（2）判断f（﹣x）与±f（x）的关系即可得出；

（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．设x1＞x2＞0，证明f（x1）﹣f（x2）＞0即可．

【解析】
（1）∵f（4）=3，∴4m﹣=3，∴m=1

（2）因为f（x）=x﹣，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数

（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．

证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）（1+）．

因为x1＞x2＞0，所以x1﹣x2＞0，1+＞0，所以f（x1）＞f（x2），

因此f（x）在（0，+∞）上为单调递增的

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．