Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．

（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]上有解，求实数t的取值范围；

（Ⅲ） 若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）=x2﹣2x+2．（Ⅱ）（﹣∞，5）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，求出a，b，得到函数的解析式．

（Ⅱ）求出函数f（x）的对称轴，然后求解fmax（x），列出关系式即可求解实数t的取值范围为（﹣∞，5）．

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可．

【解析】
（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，

又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，得2ax+a+b=2x﹣1，

故，解得：a=1，b=﹣2，

所以f（x）=x2﹣2x+2．

（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，

又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以fmax（x）=f（﹣1）=5．

关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]有解，则t＜f（x）max=5，

所以实数t的取值范围为（﹣∞，5）．

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，

则满足

解得：，所以实数m的取值范围为．

考点：函数的零点与方程根的关系；抽象函数及其应用．