Question

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．

（Ⅰ） 计算甲班7位学生成绩的方差s²；

（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

参考公式：

方差，其中．

Answer

（Ⅰ）40（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用平均数求出x的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．

（Ⅱ）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案

【解析】
（ I）∵甲班学生的平均分是85，

∴．

∴x=5．

则甲班7位学生成绩的方差为s2==40．

（ II）甲班成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，

乙班成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E．

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）． …（9分）

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…（10分）

记“甲班至少有一名学生”为事件M，则，

即从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．

考点：极差、方差与标准差；茎叶图．