Question

如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长均为2,B₁在底面上的射影D在棱长BC上,且A₁B∥平面ADC₁．

（Ⅰ）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；

（Ⅱ）求平面ADC₁与平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）连接交于点，由平面，能够得出，又是棱形，所以是中点，则有中点，又，所以，由投影条件知，从而得到线面垂直，进一步得到面面垂直；（II）由第一问的证明可知两两垂直，可建立空间直角坐标系，然后利用向量法来求平面与平面所成角的正弦值.

试题解析：（I）连接A1C交AC1于点O,连接OD,则平面A1BC∩平面ADC1=OD。

∵A1B∥平面ADC1,∴A1B∥OD,又为O为A1C的中点。

∴D为BC的中点,则AD⊥BC。

又B1D⊥平面ABC,∴AD⊥B1D，BC∩B1D=D。

∴AD⊥平面BCC1B1。

又AD平面ADC1,从而平面ADC1⊥平面BCC1B1。

(II)以D为坐标原点,DC,DA,DB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D（0,0,0）,B（-1,0,0）,A（0,,0），B1（0,0,），C1（2,0,）

易知=（1,,0）,（1,0,）,设平面A1AB的一个法向量为=（x,y,z）。

则,即,取x=-,则=（-,1,1）。

易知=（0,,0），=（2,0,），同理可得平面ADC1的一个法向量为=（-,0,2）。

∴cos<,>===。

那么平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值为。

考点：线面垂直的性质，面面垂直的证明，二面角.