Question

一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是         ．

Answer

【解析】

试题分析：由题可知，正四面体的体心为球体的球心，四面体棱长已知，可求得四面体的高为，通过体积法可求得体心到顶点的距离为，即球的半径为，以过四面体一条棱且平分四面体积的面为截面作图，为所截平面圆半径，，，，可求得，在直角三角形中，，截面的面积为.

考点：球体的内接正四面体，点到平面的距离.

【方法点睛】首先要清楚，球体的球心与其内接正四面体的体心完全重合，所以只要求得体心到顶点的距离，便知道了球的半径；其次，要求截面圆的面积，要先求得截面圆半径，因为截面圆的圆心在求得直径上，所以可以取过圆心且与截面垂直的面来研究，这样可将球，圆的半径放在一个直角三角形中，方便求得半径，再次要注意，因为截面圆过四面体三条棱的中点，所以截面圆与四面体的一个底面必平行，也即与球的一条直径必垂直．