Question

已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为．

（Ⅰ）证明：点在直线上；

（Ⅱ）设，求内切圆的方程.

Answer

（I）证明见解析；（II）．

【解析】

试题分析：（I）由焦点坐标可求得抛物线方程及点的坐标，假设直线的方程为，与抛物线方程联立，可求得两点纵坐标所满足的关系，再利用两点式求直线的表达式，结合两点纵坐标所满足的关系可求得直线恒过定点；（II）由（I）可求得的坐标，结合，可求得，从而得到直线及的方程，因为，关于轴对称，所以为的平分线，可见内切圆圆心必在轴上，在利用点到直线的距离便可求出内圆的圆心与半径，从而得到内切圆方程．

试题解析：（Ⅰ）由题可知，抛物线的方程为

则可设直线的方程为，，

故整理得，故

则直线的方程为即

令，得，所以在直线上.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，

又，

故，

则，故直线的方程为或

，

故直线的方程或，又为的平分线，

故可设圆心，到直线及的距离分别为

由得或（舍去）.故圆的半径为

所以圆的方程为.

考点：抛物线，点到直线的距离，内切圆.