Question

如图,四棱柱的底面是平行四边形,且，，，为的中点, 平面．

（Ⅰ）证明:平面平面；

（Ⅱ）若,试求二面角的余弦值．

Answer

（I）证明见解析；（II）．

【解析】

试题分析：（I）因为平面，，所以，在底面中，由，，，为的中点，可知三角形为等边三角形，所以，同时三角形为等腰三角形，且，所以有，即，根据线面垂直的判定可得，从而得到平面平面；（II）连接，由已知条件可证得，结合（I）中结论可知三条线段互相垂直，所以可以建立以原点，分别为三条坐标轴的空间坐标系，从而通过向量法求二面角．

试题解析：（Ⅰ）依题意∴是正三角形，，

∵⊥平面，平面，

平面

平面，∴平面平面．

（Ⅱ）连接，由题可知，又，故

故以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，故

设面的一个法向量，则，令，则，，

同理可求出面的一个法向量

故，而由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

考点：线面垂直，面面垂直，二面角.