Question

已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且,求四边形面积的最小值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件列方程与结合求出参数即可求得椭圆的标准方程；（2），可知所在直线互相垂直，假设其斜率均存在，则可联立方程组，用斜率来表示线段的值，从而利用面积，将四边形面积转化为关于的函数，利用函数的最值求出面积的最大值即可．

试题解析：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆C方程为.

（2）当直线斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得,.

当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得；

令，，.

，直线PQ的方程为：

将直线与椭圆联立得，

令,，；

，

四边形面积S=，

令，上式

=

所以.最小值为

考点：求椭圆标准方程，两直线垂直的性质，函数的最值.

【思路点睛】对于椭圆（双曲线）的标准方程，只要知道曲线上一点坐标及离心率，便可列方程组求出参数，从而求得标准方程；因为题中已经说明三点共线，所以在此可以假设所在的直线斜率，因为，所以可得到的斜率，从而得到其直线方程，这样四边形的面积在经过对个点的坐标的化简运算后可化简为关于的函数，从而求得其最小值．