Question

直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．

（1）证明：；

（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在，点为中点.

【解析】

试题分析：（1）由已知可知，∥，又，则，即平面，因此可得到如下的关系：互相垂直，可构成一个以为原点的空间直角坐标系，然后利用空间向量的关系证明即可；（2）由（1）中建立的空间坐标系，可利用两平面的法向量的夹角来确定两平面所成的角，进而求出点的位置.

试题解析：（1）证明： ，∥,

, 又, ,

面， 又面,

,

以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ,

则,,,,,

设 ， ,

且,即：, ,

, ,

, .

（2）设面的法向量为 ，

则 ， ， ，

， 即： ， 令,

由题可知面的法向量 ,

平面与平面 所成锐二面角的余弦值为 .

, 即： ,

或. 又,舍去.

点为中点.

考点：线面垂直，二面角，向量的运用.

【思路点睛】本题若通过线线，线面关系直接证明，难度较大，但仔细审题，便可利用条件得出互相垂直，由此便可建立空间直角坐标系，有了空间直角坐标系，便可利用向量的关系来证明空间中线线垂直；而对于二面角，可利用平面法向量的夹角等于两平面的夹角，也可以利用面积投影法来确定点的位置．