Question

已知函数在处取得极值.

（1）确定的值；

（2）若，讨论的单调性.

Answer

（1）；（2）在和内为减函数，在和内为增函数．

【解析】

试题分析：(1)根据导函数在零点处，原函数可能取得极值，所以先要求导函数以及其零点，再结合函数的单调性确定的值；(2)求函数的导函数，，令，求出零点，然后根据导函数在对应区间上的正负确定函数的单调区间．

试题解析：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．

∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，

∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；

（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）ex，

∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，

令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，

当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；

当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；

当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；

当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；

综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．

考点：函数的极值，导函数的运用.