Question

已知直线l：y＝x＋，圆O：x²＋y²＝4，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知动直线l₁ (斜率存在)与椭圆E交于P，Q两个不同点，且△OPQ的面积S_△OPQ＝1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点A，B，使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）存在两定点，，使得直线与的斜率之积为定值．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的离心率可列方程，直线被圆所截弦长等于椭圆短轴长，则可列方程求得，从而求得，得到椭圆标准方程；（2）先假设直线，与椭圆方程联立可求得长度（用表示），在利用点到直线的距离求得三角形边上的高，从而利用面积为求得的关系，又因为为中点，所以可用来表示其坐标，并且可求得其轨迹方程，然后再假设坐标，表示出的斜率，并且使斜率之积为定值，从而求得坐标．

试题解析：(1)设椭圆半焦距为c，

圆心O到l的距离d＝，则l被圆O截得的弦长为2，所以b＝1，

由题意得e＝，∵b＝1，∴a2＝4，b2＝1.∴椭圆E的方程为

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l1的方程为：y＝kx＋m.

则消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

x1＋x2＝，x1.x2＝.|PQ|＝.|x1－x2|＝

原点O到直线l1的距离d＝，则S△OPQ＝|PQ|.d＝＝1，

∴2|m|.＝1＋4k2，令1＋4k2＝n，∴2|m|.＝n，

∴n＝2m2，1＋4k2＝2m2.

∵N为PQ中点，∴xN＝＝，yN＝＝，

∵1＋4k2＝2m2，∴xN＝，yN＝.∴

假设x轴上存在两定点A(s，0)，B(t，0)(s≠t)，则直线NA的斜率k1＝，

直线NB的斜率k2＝，∴k1k2＝＝＝.当且仅当s＋t＝0，st＝－2时，k1k2＝，则s＝，t＝.

综上所述，存在两定点A(，0)，B(，0)，使得直线NA与NB的斜率之积为定值.

考点：点到直线的距离，离心率，两点间距离，求动点的轨迹方程．