Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n对一切正整数n都成立．

（1）求a₁，a₂的值；

（2）设a₁>0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer

（1）或，；(2) ．

【解析】

试题分析：（1）分别令，可列关于的方程组，解方程组求得值；（2）由结合（1）可确定得值，再结合，求出的通项公式，进而求出新的数列的通项式，可知其为等差数列，求出该等差数列的最小正数项，即可求得前项和的最大值．

试题解析：(1)当n＝1时，a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，当n＝2时＝2a1＋2a2，

两式相减a2(a2－a1)＝a2，∴a2＝0，a1＝0或a2≠0，a2－a1＝1，

解方程组可得：a1＝0，a2＝0，或a1＝＋1，a2＝＋2，

或a1＝1－，a2＝2－.

(2)由(1)及a1>0知a1＝＋1，a2＝＋2

当n≥2时，(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，

∴(1＋)an＝(2＋)an－1，∴an＝an－1(n≥2), ∴an＝a1()n－1＝(1＋)()n－1

令bn＝lg＝lg，所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为lg2

∴b1>b2>…>b7＝lg，所以当n≥8时，bn≤b8＝lg，

所以数列的前7项和最大，T7＝＝7－lg2.

考点：等差数列的前项和，对数的运算.