Question

为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S－EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合(如图所示)．

（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；

（2）当AE＝时，求二面角E－SH－F的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）时四个全等的等腰直角三角形，所以重新组合后构成一个正方形，则对角线，由平面图形可知，又中点，由面面垂直的判定可得；（2）因为两两垂直，且交于点，所以可以建立空间直角坐标系，从而求得平面平面的法向量，通过法向量求得二面角．

试题解析：(1)∵折后A，B，C，D重合于一点O，

∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，

∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH.

∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，∴SE＝SG，∴EG⊥SO.

又∵SO，FH平面SFH，SO∩FH＝O，∴EG⊥平面SFH.

又∵EG平面SEG，∴平面SEG⊥平面SFH.

(2)法1：过O作OM⊥SH交SH于M点，连接EM，∵EO⊥平面SFH，∴EO⊥SH，

∴SH⊥平面EMO，∴∠EMO为二面角E－SH－F的平面角.

当AE＝时，即OE＝，Rt△SHO中，SO＝5，SH＝，∴OM＝＝，

Rt△EMO中，EM＝＝，cos∠EMO＝＝＝.

所以所求二面角的余弦值为

法2：由(1)知EG⊥FH，EG⊥SO，并可同理得到HF⊥SO，故以O为原点，分别以OF，OG，OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，

在原平面图形中，AE＝，则底面正方形EFGH的对角线EG＝5，

∴H，E，G，＝，

＝.

在原平面图形中，可求得SE＝，在Rt△SOE中，可求得SO＝＝5，

∴S(0，0，5)，＝

设平面SEH的一个法向量为＝(x，y，z)，

则得，令x＝2，则＝(2，2，－1)，

∵EG⊥平面SFH，∴是平面SFH的一个法向量，设二面角E－SH－F的大小为θ，

则cosθ＝＝，∴二面角E－SH－F的余弦值为

考点：面面垂直的证明，求二面角.