Question

已知函数满足条件：①；②对一切，都有．

（1）求、的值；

（2）若存在实数，使函数在区间上有最小值－5，求出实数的值.

Answer

(1) ，；(2) 或.

【解析】

试题分析：(1)由题意可知即函数为二次函数，由得，由②得解得，；（2）由(1)可得的解析式，进而可得的解析式，由于为二次函数，由对称轴为，可分三种情况：，，，最后可解得当或时，函数在区间上有最小值.

试题解析：（1）当时，．由得：，即，∴ ．显然＞1时，＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．

∴，函数是二次函数．

由于对一切，都有，于是由二次函数的性质可得即 由得 ，即，

代入（*）得．整理得 ，即．而，∴ ．.

（Ⅱ）∵ ， ∴ ．

∴．该函数图象开口向上，且对称轴为．若存在实数使函数在区间上有最小值-5

① 当＜－1时，＜，函数在区间上是递增的，

∴＝－5，即，

解得 ＝－3或＝．∵ ＞－1， ∴＝舍去．

② 当－1≤＜1时，≤＜＋2，函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，

∴ ＝－5，即．

解得＝或＝，均应舍去．

③当≥1时，≥＋2，函数在区间上是递减的，

∴＝－5，即．

解得 ＝或＝，其中＝应舍去．

综上可得，当＝－3或＝时，函数在区间上有最小值－5．

考点：二次函数.

【易错点晴】本题第一问的难点是、的值的求法，也就是的解决，如何由这个条件得到、的不等式，进而由不等式的性质得到、的值．第二问虽然构建了新的函数，但也是放在了二次函数中研究的，在对称轴不定，定义域不定的前提下，如何用分类讨论思想来解决问题是本题的又一个难点．本题难度较大.