Question

如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，,为的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若平面，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）要证，可以先证明垂直于所在的平面；（2）可以用向量法解决，取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面、平面的法向量，并求出法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值；（3）因为平面，只需，利用即可求出的值.

试题解析：（1）由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面，又平面，则．

（2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的斜弦值为．

（3）有（1）知平面，则，若平面，只需，，又

，解得

或，由于，则．

考点：1、线线垂直 ；2、线面垂直；3、二面角.

【思路点晴】本题是一个有关线线垂直、线面垂直、二面角方面的综合性问题，解决本题的基本思路是：对于（1）要证，可以先证明垂直于所在的平面；对于（3）在建立直角坐标系之后，解决问题的关键是要正确求出平面的法向量和平面的法向量，之后再根据向量夹角的公式就可求出二面角的余弦值；对于（3）在前两问的基础上，只需由即可求出的值.