Question

已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点．

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积．

Answer

（1）；（2），.

【解析】

试题分析：（1）由条件可根据，即列出等式，进而可得到点的轨迹方程；（2）由（1）的结论及判断出，可得到的斜率，进而得到的方程，再求出到直线的距离以及的长，即可得到的面积．

试题解析：（1）圆的方程可化为，

所以圆心为，半径为．

设，则．

由题设知，故，即．

由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是．

（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．

由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而．

因为的斜率为，所以直线的斜率为，

故的方程为．

又，到直线的距离为，

故，所以的面积为．

考点：1、圆的方程；2、点到直线的距离；3、三角形的面积.