Question

如图，抛物线与椭圆在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交于、两点，求面积的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先根据的面积为求出点的坐标，进而可求出抛物线的方程；（2）首先求出当直线的斜率不存在时的面积，当直线的斜率存在时，用表示出三角形的底和高，进而表示出的面积，再根据直线交于、两点时的取值范围，就可得到面积的最小值．

试题解析：（1）因为的面积为，所以代入椭圆方程得，抛物线的方程是：．

（2）直线斜率不存在时，；

直线斜率存在时，设直线方程为，

代入抛物线，得，

，综上最小值为．

考点：1、椭圆；2、抛物线；3、三角形的面积.