Question

（1）已知函数，求的单调区间；

（2）若，求证：．

Answer

（1）在上单调递减；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）因为，所以在上单调递减；（2）先证明时，两式均等于，等式成立，当时，要证明原式，只需证明在上单调递减，，因为

，易知单调递增，所以

，令

，则

，所以单调递减，，从而，所以单调递减，从而．

试题解析：（1）由求导可得：

在上恒成立．

∴在上单调递减．

证明：当时，两式均等于，等式成立；

当时，要证明原式，只需证明在上单调递减，．

而，∵单调递增，且，

又∵单调递减，且，∴单调递增，故

，

令，

则，

∴单调递减，，∴单调递减，∴，

所以综上，不等式成立．

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、构造函数；3、函数的增减性的应用；4、利用函数证明不等式．