Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左顶点，过点作斜率为的直线交椭圆于，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为的中点，是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

Answer

（1）；（2）存在的坐标为，理由见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的简单几何性质知，又，得，所以，故椭圆的标准方程为；（2）因为直线方程，由直线和圆锥曲线的位置关系得：

，中点的坐标为，所以，又点坐标为，假设存在定点的，使得，则，即恒成立，即，所以，故存在定点的坐标为；（3）因为,所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号,所以的最小值为．

试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以．

又因为，所以椭圆的标准方程为．

直线的方程为，由，消元得，，

化简得：，所以．

当时，，

所以，因为点为的中点，所以的坐标为，

则．

直线的方程为，令，得点坐标为，

假设存在定点的，使得，则，即恒成立，

所以恒成立，所以即

因此定点的坐标为．

因为,所以的方程可设为，

由得点的横坐标为，

由，得

，

当且仅当即时取等号，

所以当时，的最小值为．

考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、基本不等式；4、弦长公式．