Question

边长为的正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面，．

（1）求证：平面平面；

（2）设点是棱上一点，若二面角的余弦值为，试确定点在上的位置．

Answer

（1）证明见解析；（2）点满足．

【解析】

试题分析：（1）由，，知面，又面，所以平面平面；（2）建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，解得，又平面的法向量为，所以，解得，故点满足．

试题解析：（1）∵平面，∴，又∵，，∴面．

又面，∴平面平面．

∵，∴如图，建立空间直角坐标系，

则，∴，∴．

设，则．

设平面的法向量为，

则，∴取，

又平面的法向量为，

∴，∴，

故当点满足时，二面角的余弦值为．

考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．

【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、面面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意面的法向量的求法，做到快速准确，法向量夹角和二面角的关系注意分析，否则很容易出现错误．证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面关键是线线垂直，常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．