Question

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，证明：．

Answer

（1），函数在上递减；，的减区间为；增区间为，其中，；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求导数得：，，设，，讨论①当，，，∴，函数在上递减，②当时，，可得，，函数的减区间为；增区间为；（2）由（1）当时，函数有两个极值点，，

，设，，所以在上递减，，所以．

试题解析：（1）函数的定义域为．

．

，设，．

①当，，，∴，函数在上递减．

②当时，，可得，．

函数的减区间为；增区间为．

由（1）当时，函数有两个极值点，，

．

设，，

所以在上递减，，

所以．

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、分类讨论；4、二次函数的性质．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、最值涉及了分类讨论思想及二次函数的性质及构造函数证明不等式问题，属于难题．解题时一定要注意函数求导后如果有参数，要考虑分类讨论问题，此题求导后转化为研究含参的二次函数，利用判别式进行分类，需要对二次函数知识非常熟练；第二问根据所求，构造函数，转化为研究函数最小值问题，再利用导数研究极值来求最小值．